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第223章 柯西奇异积分方程(第1页)

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Engel对维尔斯特拉斯说:“我知道狄利克雷函数它处处不连续,处处极限不存在。还没听说过处处连续而处处不可导的函数。会有这样的函数吗?”一般人在直觉上会认为连续的函数必然是可导的,即使不可导,不可导的点也必然只占整体的一小部分

维尔斯特拉斯写出了一个方程,是一个余弦求和函数,外部系数a的n次方,a大于0小于1,内部角的系数是b的n次方乘以π,其中b是正奇数,符合一个条件a乘以b大于1加π乘以1.5.

Engle说:“这样的函数式如何处处连续的?”

维尔斯特拉斯大概将图描出来,是一个异常都懂像是充满毛刺的图。

Engle说:“这跟狄利克雷函数差不多了看,看起来处处不连续了。”

维尔斯特拉斯说:“这个图放大了还是这种形状,一直放大,一直是这样相同的形状。”尔斯特拉斯函数可以说是第一个分形函数,尽管这个名词当时还不存在。将魏尔斯特拉斯函数在任一点放大,所得到的局部图都和整体图形相似。无论如何放大,函数图像都不会显得更加平滑,不像可导函数那样越来越接近直线;仍然具有无限的细节,不存在单调的区间。

Engle说:“听起来确实十分病态。”

维尔斯特拉斯说:“根据我发现的判别法可以证明这个函数的收敛性,也进一步证明这个函数是处处连续的。”

Engle说:“那如何去处处证明这个函数式处处不可导?”

维尔斯特拉斯说:“直接使用求导公式来,可以从中导出数列,导出矛盾。”

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