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1905年,保罗莱维开始着手研究关于集合论的一些问题。
其中一个重要问题,是关于排序的。
集合论中有特性是无序性。
所以研究很多数域的时候,关于顺序的问题也变得重要起来。
其中最为重要的是哪些可以排序,哪些不可以排序。
莱维的老师和顾问为雅克阿达马。
他指导莱维做这方面的研究。
莱维说:“很多数域都可以正常排序,称之为全序。而很多数域不能有全序,那也不能贸然看成无序,也要研究偏序性。”
自然数的集合配备了它的自然次序(小于等于关系)。这个偏序是全序。
整数的集合配备了它的自然次序。这个偏序是全序。
自然数的集合的有限子集{1,2,...,n}。这个偏序是全序。
自然数的集合配备了整除关系。
给定集合的子集的集合(它的幂集)按包含排序。
向量空间的子空间的集合按包含来排序。
阿达马说:“偏序集合是数学中,特别是序理论中,指配备了部分排序关系的集合。这理论将排序、顺序或排列这个集合的元素的直觉概念抽象化。这种排序不必然需要是全部的,就是说不必要保证此集合内的所有对象的相互可比较性。部分排序集合定义了部分排拓扑。”
莱维说:“一般的说偏序集合的两个元素x和y可以处于四个相互排斥的关联中任何一个:要么xy,要么x和y是“不可比较”的(三个都不是)。全序集合是用规则排除第四种可能的集合:所有元素对都是可比较的,并且声称三分法成立。自然数、整数、有理数和实数都关于它们代数(有符号)大小是全序的,而复数不是。”
阿达马说:“这不是说复数不能全序排序;比如我们可以按词典次序排序它们,通过x+iy小于u+iv当且仅当x小于u或x等于u且y小于v,但是这种排序没有合理的大小意义因为它使得1大于100i。按绝对大小排序它们产生在其中所有对都是可比较的预序,但这不是偏序因为1和i有相同的绝对大小但却不相等,违反了反对称性。”
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