卡塔朗有一天去剧场排队,看到售票处因为没有找零的钱而跟顾客发生了冲突。
很多顾客都抱怨为什么剧场售票处没有足够的零钱,而剧场售票处的人也发现大家都用大整钱。
卡塔朗在想,不见所有的人用整钱,只是没有足够零钱的人排队排在前头,导致零钱被找光而发生了断供。
卡塔朗在想:“如果带零钱的人全部在前面排队,那么问题一定好解决。”
“不见得所有有零钱的人一定在前方排队,而是有一部分人有零钱的人在前面即可,但是有零钱的人是多少个呢?”
卡塔朗在假设,售票窗口前有2n个人排队买票,每张门票定价5角,每人限购一张。这些人中,只带一张5角人民币的与只带一张1元人民币的各有n人。
开始售票时,售票窗口没有角票可以找零。试问:大家都能顺利买票,售票员始终没有找不出零钱困扰的排队方法共有多少种?
卡塔朗开始思考用0代表身边带5角钱的人,1代表带1元钱的人,则本问题即可变成:有n个0和n个1,问有多少种排列方法,使排成的0、1序列里,任意前i(i可从1变到2n)个数字中,0的个数总不少于1的个数,此性质称为前束性质。
卡塔朗开始画图,发现把0看作向右走一步,把1看作向上走一步,则很明显,n个0和n个1所组成的序列将和图中从原点(0,0)到点(n,n)的递增路径是一一对应的。于是,我们只要计算路径的条数就行了。
很快卡塔朗找到了一个公式计算排队的方法,如果是有n个5角和n个1元的人的排队,则有(2n)!(n!(n+1)!)个办法。
如果是有1个人排队是1个办法,2个人排队则是1个办法,3个人排队是2个办法。此后的4、5、6、7、8、9、10个人排队分别有5,14,42,132,429,1430,4862种办法。
卡塔朗数是一个组合数,一些组合计数问题可以归结为解下列形式的递归关系:un=u1un-1+u2un-2+…+un-1u1,n≥2,且u1=1,它的解un称为卡塔朗数。
一般认为这种数是由比利时数学家卡塔朗在1838年首先提出的,但后来有人指出,实际上大数学家欧拉早在1758年就已认识到它了。
我国内蒙古师范大学罗见今副教授以大量的史料论证,所谓“卡塔朗数”的首创者其实并非欧洲人,而是我国清朝的蒙古族学者明安图(1692~1763)。他的发现早于欧拉,比卡塔朗的发现,几乎早了一百年。
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