狄利克雷对泊松说:“加入一个巨大的铁板,铁板一个部分的温度已经固定,那么温度会传导扩散到铁板的四面八方。最后会稳定在一个值内,不会在发生任何改变。如何去求各个地方的温度呢?”
泊松说:“这种热力的传导是复合偏微分方程的,所以确定热力的偏微分的分布情况即可。”
狄利克雷说:“问题就有意思在这里,这个形状有关系。如果这个铁片长度不同,那么热的分布也会不太一样,如果铁片较短,那么边缘处会稍微热一点点,如果铁片较远,那么边缘处会相对冷一些。如果铁片的长度为无限远,在无限远处会接近为最低的温度。”
泊松补充道:“接近为常温。”
狄利克雷说:“同时在机械工程和土木工程的梁理论中,梁的一端保持在空间中的固定位置。在静电中,电路的节点保持固定电压。在流体动力学中,粘性流体的防滑条件表明,在固体边界处,流体相对于边界具有零速度。也属于这类问题。”
在数学中,狄利克雷边界条件,为常微分方程的“第一类边界条件”,指定微分方程的解在边界处的值。也叫本质边界条件。求出这样的方程的解的问题被称为狄利克雷问题。
狄利克雷问题亦称第一边值问题,是调和函数的一类重要边值问题。
第一类边界条件,是指在热力学中,第一类边界条件的表述为:“将大平板看成一维问题处理时,平板一侧温度恒定。”
此后,延伸出了第二类和第三类边界条件表述。
第二类边界条件即诺依曼边界条件,给出了在边界处解对指定函数的导数或偏导数。例如,泊松方程中的浮动边界条件,电势可以浮动,电场为零。在热力学中,第二类边界条件的表述为:“将大平板看成一维问题处理时,平板一侧热流密度一定。”半无限大物体在导热方向上,当其一侧热流密度一定。数学描述为:q(0,t)=定值。
第三类边界条件的表述为:“将大平板看成一维问题处理时,平板一侧换热系数一定,换热流体的温度一定。”半无限大物体在导热方向上,当其一侧边换热系数一定,换热流体的温度一定。数学描述为:h(0,t)=定值,tf=0。
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