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1685年,沃利斯(Wallis)出版了《代数》(DeAlgebra),包含了牛顿二项式定理的最早描述。它也使哈利奥特的卓越贡献为人所知。二项式定理,是一个a加b的n次方的展开计算。
沃利斯对牛顿说:“你最近在研究什么?”
牛顿说:“二项式定理。”
沃利斯说:“巴斯卡三角,甚至古中国的杨辉三角而已,还有什么好研究?”
牛顿说:“没什么,仅仅是想前进一步。”
沃利斯笑说:“这些东西有用吗?”
牛顿笑着说:“我觉得有很多用,虽看朴素,但里面蕴藏着很多能量。”
沃利斯说:“比如说?”
牛顿说:“我在想开二次方可以计算,就是不断的将小数点后的数字,先写成5,大的让这个数变成4,小了让这个数变成6。然后一直不断往后写,就可以慢慢的遍历出个无穷的样子。”
沃利斯说:“那又如何,不用二项式,我蒙着这样乘下去不就可以了?”
牛顿说:“开3次,还用这样的办法的话,就困难了,同时开3次以上的话,就更难了。”
沃利斯说:“继续说。”
牛顿说:“我想吧二项式中的n,从整数变成分数来计算。也可以。”
沃利斯说:“如果是整数,可以有帕斯卡三角,或者是一种组合公式来表示系数。分数的你该怎么办呢?”
牛顿说:“很容易,把那个组合公式中的n也变成对应的分数,甚至负数都可以。”
沃利斯抬头开始想牛顿说的这个组合公式的变化。
沃利斯开始去写1加x的负一次方的展开,写成了无穷的形式,等于1减去x的平方加x的二次方减x的三次,一直到无穷。因为组合方程计算出来的是1和-1这两个数字的交替。x的奇数次方的系数是负一,x的偶数次方的系数是正一。
疑惑的说:“等等,变成负数我还可以想象,变成分数这还用意义吗?”
牛顿说:“为什么没有意义,也没有人规定一定是整数呀,你脑子太死板,不知道其中的奥秘,这里面有很多有趣的数学意义。”
沃利斯也开始尝试的开始写二分之一次方的组合方程,然后带入到1加x的二分之一次方,也写出了看着复杂一些的无穷的级数。
沃利斯看着这个花里胡哨的东西,对牛顿说:“这个东西有作用吗?看着花哨。”
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